Exercices Corrigés de Physique Quantique

EXERCICE 1 : Oscillateur dans un champ électrique
On considère un oscillateur harmonique à une dimension, de pulsation $\omega$ , formé d’une particule de masse m , élastiquement liée à l’origine et se déplaçant suivant l’axe Ox . Son Hamiltonien est :

$\hat{H_0}=\frac{\hat{P}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$ 

1-/ Quelles sont les valeurs propres correspondantes $E_n$? 

2-/ La particule a une charge électrique q . On applique un champ électrique constant uniforme $\xi$    parallèle à Ox . Ecrire l’énergie potentielle $W_n$ de l’oscillateur dans le champ. 

3-/ Ecrire le Hamiltonien $\hat{H}$ du système en présence du champ. 

4-/ Quels sont les niveaux d’énergie $W_n$ du système dans le champ $\xi$ ? 

5-/ Quelles sont, en fonction des $\Phi_n(x)$  , les nouvelles fonctions propres $\Psi_n(x)$ en présence du champ ? 

6-/ Quelle est la valeur moyenne du moment dipolaire $<\hat{d}>$ dans l’état $\Psi_n(x)$ ? Interpréter le résultat.
Corrigé de l'éxercice 1 : Oscillateur dans un champ électrique

Exercice n°2 : Composition de moments cinétiques

La molécule d’eau est constituée d’un atome d’oxygène dont le spin du noyau est nul et

de deux atomes d’hydrogène (discernables) dont les noyaux sont des protons de spin $\frac{1}{2}$.

Nous considérons que l’espace des états de spin nucléaire est le produit des espaces $E_1$

et $E_2$ des états de spin de chacun des protons : $E = E1 \bigotimes E2$ .La base composée de E

est formées des vecteurs $|\epsilon_1, \epsilon_2> = |\epsilon_1>\bigotimes |\epsilon_2>$ où {$|\epsilon_k>$} (k = 1 ou 2) est la base standard de l’espace $E_k$ .

La molécule d’eau est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme et constant
orienté suivant l’axe Oz. L’hamiltonien de ce système s’écrit :
$H_0 = -\omega S_z$ avec $S_z = S_{1z} + S_{2z}$
1- Déterminer les valeurs propres de l’énergie ainsi que la dégénérescence de
chacune de ces valeurs.
2- En réalité les deux moments cinétiques interagissent (en fait, ce sont les deux
moments magnétiques qui interagissent). L’hamiltonien total s’écrit donc :
$H = H_0 + W$ avec $W =A(\vec{S_1}.\vec{S_2} - 3(\vec{S_1}.\vec{e_z})(\vec{S_2}.\vec{e_z})) $
Déterminer la matrice de H. Conclusion.
3.a- Vérifier que l’espace des états E est un espace propre des opérateurs $\vec{S_1}^2,\vec{S_2}^2,\vec{S_{1z}}^2,\vec{S_{2z}}^2$ et  Préciser les valeurs propres correspondantes.
3.b- Démontrer la relation $W=\frac{A}{2}(\vec{S}^2 - K\vec{S_{z}}^2)$ où K est une constante
dont on donnera la valeur.
4- On considère la base standard {$|S m>$} de E.
4.a- Etablir, sans démonstration, la liste des valeurs de S, ainsi que la liste des
vecteurs de la base standard.
4.b- Développer les vecteurs ($H_0 + W$) $|S m>$ sur la base standard, en déduire le
spectre de l’énergie ainsi que les vecteurs propres correspondants.

Corrigé de L'Exercice n°2 : Composition de moments cinétiques

Exercice 3

 On considère une particule à une dimension de masse m évoluant dans le potentiel suivant : 

$V (X) =\frac{1}{2} m\omega^2$

1- Rappeler l'éxpression de l'hamiltonien H d'un tel oscillateur harmonique. 

2- On notera juni le vecteur propre de H associè à la valeur propre En. On rappelle que $E_n = \hbar\omega (n + \frac{1}{2})$ n est un nombre entier positif ou nul. Soient les opérateurs d'annihilation $\hat{a}$ et de crèation  $\hat{a}^+$ 

2.a- Les opérateurs $\hat{a}$ et $\hat{a}^+$ sont-ils hermitiques ? 

2.b- Calculer le commutateur [$\hat{a}$, $\hat{a}^+$]. 

2.c- Comparer l'opèrateur $N$= $\hat{a}$.$\hat{a}^+$ à l'hamiltonien du système. Déterminer le résultat de l'application de N sur $|u_n>$. 

2.d- On rappelle que :
                                                 $\hat{a}|u_n>$=$\sqrt {n}|u_{n-1}>$

 $\hat{a}^+|u_n>$=$\sqrt {n+1}|u_{n+1}>$

Montrer que l'on peut retrouver le résultat de la question précédente en utilisant ces relations d'applications. 

3- étude des opérateurs $X$ et $P_x$ et théorème du viriel. 

3.a- Calculer $X$ et $P_x$ en fonction de $\hat{a}$ et $\hat{a}^+$ . Calculer $X|u_n>$ et $P_x|u_{n+1}>$

3.b- Déterminer les valeurs moyennes de $X$, de $X^2$ , de $P_x$ et de $P_x^2$  lorsque le système se trouve dans un état propre de H. 

3.c- Comparer l'énergie cinétique moyenne et l'énergie potentielle moyenne lorsque le système se trouve dans un état propre de H. 

3.d- Calculer le produit des écarts quadratiques moyens $\Delta X$ et $\Delta P_x$. Pour quelle valeur de n est-il minimal ? 

4- A l'instant t = 0, l'état de cet oscillateur est donné par :

|$\psi (0)$>=$\Sigma_n|u_n>$

4.a- Donner |$\psi (t)$> Déterminer, à un instant t quelconque, la probabilité $P(E_n)$ d'obtenir En lors de la mesure de l'énergie de cet oscillateur. 

4.b- Quelle est la probabilité $ P(E > 2\hbar\omega)$ pour qu'une mesure de l'énergie de l'oscillateur à un instant t > 0 quelconque donne un résultat supérieur à $2\hbar\omega$. Quels sont les coe¢ cients Cn non nuls lorsque $P = 0$ ? 

4.c- On suppose à partir de maintenant que seuls $C_0$ et $C_1$ sont différents de zéro. écrire en fonction de $C_0$ et $C_1$ la condition de normalisation de |$\psi (0)$> et la valeur moyenne de H. On impose de plus $< H >= \hbar\omega $. Calculer $C_0^2$ et $C_1^2$ . 

4.d- Le vecteur d'état |$\psi (0)$> étant défni à un facteur de phase global près, on fixe ce facteur de phase en imposant $C_0$ réel et positif. On pose

$C_1=|C_1|e^{i\theta}$  ,

$< H >= \hbar\omega $ et $<x>_{t=0}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega}}$. 

Calculer $\theta$

4.e- Déterminer |$\psi (t)$> ainsi que la valeur moyenne de $X$ en fonction du temps.