Partie I (8 points)
Une particule de masse m se déplaçant sur l’axe Ox constitue un oscillateur harmonique de
pulsation $\omega$ On notera $|n>$ les états propres de son Hamiltonien $H_0$ et on désignera par $\hat{a}$ l’opérateur d’annihilation et par $\hat{a}^+$ l’opérateur de création.
1) Montrer les relations suivantes : $\hat{a}|n>$=$\sqrt{n}|n-1>$ et $\hat{a}^+|n>$=$\sqrt{n+1}|n+1>$
2) A l’instant $t_0$, la particule est dans l’état : $|\psi (t_0 )>$= $\frac{1}{2}$|0> +$\frac{1}{2}$|1> - $\frac{i}{\sqrt{2}}$|2>
L’état de la particule à l’instant $t > t_0$ est déterminé à partir de $|\psi (t_0)>$ par application de
l’opérateur d’évolution $U(t, t_0)$, avec $U(t_0, t_0)=1$.
a- Déterminer l’expression de $U(t, t_0)$ en fonction de $H_0$ et montrer que l’hermiticité de $H_0$ impose à cet opérateur d’être unitaire.
b- On mesure, à l’instant $t > t_0$, l’énergie de la particule. Quelle est la probabilité de trouver
comme résultat $\frac{5\hbar\omega}{2}$ ?
3) On soumet l’oscillateur à une perturbation linéaire :
$H'=\alpha\hbar\omega X$ ; avec 0<$\alpha$<<1 et $\hat{X}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}X$
X étant l’observable position.
a- Montrer que le spectre de $H_0$ est décalé d’une quantité $d$ que l’on précisera.
b- On applique la théorie des perturbations stationnaires. Déterminer :
i) les corrections à l’énergie d’ordre un $E_n^{1}$ et d’ordre deux $E_n^{2}$
ii) les états stationnaires approchés au premier ordre d’approximation.
Corrigé
1) On sait Que $N|n>$=$n|n>$
si $N|n+1>$=$(n+1)|n+1>$ alors $\hat{a}|n+1>$ est vecteur propre de $\hat{N}$ avec la valeur propre $n$ . Mais $n$ non dégénérée d'ou $\hat{a}|n+1>=C^i|n>$
$\hat{a}^+\hat{a}|n+1>=C^i\hat{a}^+|n>$ Or $\hat{a}^+\hat{a}|n+1>=N|n+1>=(n+1)|n+1>$
$\Longrightarrow$ $C^i\hat{a}^+|n>=(n+1)|n+1>$ $\rightsquigarrow$ $|n+1>=\frac{C^i\hat{a}^+}{n+1}|n>$
posent $n=0$ donc $|1>=\frac{C^1\hat{a}^+}{1}|0>$
posent $n=0$ donc $|1>=\frac{C^1\hat{a}^+}{1}|0>$
Condition de Normalisation $|C_1|^2$=$1$ $\rightsquigarrow$ $|1>=\hat{a}^+|0>$
Pour $n=2$ $\rightsquigarrow$ $|2>=C_2\hat{a}^+|1>$
Condition de Normalisation $C_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Donc $|2>=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{a}^+|1>$ $\rightsquigarrow$ $|2>=\frac{{\hat{a}^+}^2}{\sqrt{2}}|0>$
par récurrence :
$|n>=\frac{{\hat{a}^+}^n}{\sqrt{n!}}|0>$
D'ou On tire les relations demander : $\hat{a}|n>$=$\sqrt{n}|n-1>$ $\hat{a}^+|n>$=$\sqrt{n+1}|n+1>$
2) Le système a l'instant initial est dans l'état indiquer ci dessus :
On sait que l'énergie d'un Oscillateur Harmonique est donné par $E_n$=$\hbar\omega (n+\frac{1}{2})$
pour n =0 : $\frac{\hbar\omega}{2}$
pour n =1 : $\frac{3\hbar\omega}{2}$
pour n =3 : $\frac{5\hbar\omega}{2}$
Or $|\psi (t)>$=$U(t, t_0) |\psi (t_0)>$ avec $U(t, t_0)=e^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}$
On remplacent nous tombons dans l'expression suivant : $|\psi (t)>$= $\frac{e^{\frac{-i\omega}{2}}}{2}$|0> + $\frac{e^{\frac{-i3\omega}{2}}}{2}$|1> - $i\frac{e^{\frac{-i5\omega}{2}}}{\sqrt{2}}$|2>
La probabilité de trouver $\frac{5\hbar\omega}{2}$ Comme résultat de mesure : $P(\frac{5\hbar\omega}{2})=\frac{1}{2}$
3)
a ) On $H'= \alpha\hbar\omega X$ On rend $H'$ sans dimension on divisent par une énergie On Obtient :
$H'=\hbar\omega\hat{H'}$
Or $\hat{H}_t=\hat{H'}+\hat{H_0}$ avec $\hat{H_0}=\frac{1}{2}(\hat{X}^2 + \hat{P}^2)$ $\rightsquigarrow$ $\hat{H}_t=\alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\hat{X} + \frac{1}{2}(\hat{X}^2 + \hat{P}^2)$
on ressemblent les termes suivant $\hat{X}$ on obtient l'expression suivant :
$\hat{H_t}=\frac{1}{2}(\hat{P} + (\hat{X} + \alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}})^2) - \frac{\hbar\alpha^2}{2m\omega}$ on posent $\hat{X'}=\hat{X} + \alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$
donc $H_0$ est effectivement décalé avec la quantité $\frac{\hbar^2\alpha^2}{2m}$ .
b) l'application de la théorie des perturbation stationnaire (indépendante du temps)
Pour ce qui reste c'est juste un application de ces relations
N.B : la correction sur les états stationnaires r'approché d'ordre (2) est rarement demandé .
Hassan Aboulfadam <3
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