Partie I (8 points)
Une particule de masse m se déplaçant sur l’axe Ox constitue un oscillateur harmonique de
pulsation \omega On notera |n> les états propres de son Hamiltonien H_0 et on désignera par \hat{a} l’opérateur d’annihilation et par \hat{a}^+ l’opérateur de création.
1) Montrer les relations suivantes : \hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1> et \hat{a}^+|n>=\sqrt{n+1}|n+1>
2) A l’instant t_0, la particule est dans l’état : |\psi (t_0 )>= \frac{1}{2}|0> +\frac{1}{2}|1> - \frac{i}{\sqrt{2}}|2>
L’état de la particule à l’instant t > t_0 est déterminé à partir de |\psi (t_0)> par application de
l’opérateur d’évolution U(t, t_0), avec U(t_0, t_0)=1.
a- Déterminer l’expression de U(t, t_0) en fonction de H_0 et montrer que l’hermiticité de H_0 impose à cet opérateur d’être unitaire.
b- On mesure, à l’instant t > t_0, l’énergie de la particule. Quelle est la probabilité de trouver
comme résultat \frac{5\hbar\omega}{2} ?
3) On soumet l’oscillateur à une perturbation linéaire :
H'=\alpha\hbar\omega X ; avec 0<\alpha<<1 et \hat{X}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}X
X étant l’observable position.
a- Montrer que le spectre de H_0 est décalé d’une quantité d que l’on précisera.
b- On applique la théorie des perturbations stationnaires. Déterminer :
i) les corrections à l’énergie d’ordre un E_n^{1} et d’ordre deux E_n^{2}
ii) les états stationnaires approchés au premier ordre d’approximation.
Corrigé
1) On sait Que N|n>=n|n>
si N|n+1>=(n+1)|n+1> alors \hat{a}|n+1> est vecteur propre de \hat{N} avec la valeur propre n . Mais n non dégénérée d'ou \hat{a}|n+1>=C^i|n>
\hat{a}^+\hat{a}|n+1>=C^i\hat{a}^+|n> Or \hat{a}^+\hat{a}|n+1>=N|n+1>=(n+1)|n+1>
\Longrightarrow C^i\hat{a}^+|n>=(n+1)|n+1> \rightsquigarrow |n+1>=\frac{C^i\hat{a}^+}{n+1}|n>
posent n=0 donc |1>=\frac{C^1\hat{a}^+}{1}|0>
posent n=0 donc |1>=\frac{C^1\hat{a}^+}{1}|0>
Condition de Normalisation |C_1|^2=1 \rightsquigarrow |1>=\hat{a}^+|0>
Pour n=2 \rightsquigarrow |2>=C_2\hat{a}^+|1>
Condition de Normalisation C_2=\frac{1}{\sqrt{2}}
Donc |2>=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{a}^+|1> \rightsquigarrow |2>=\frac{{\hat{a}^+}^2}{\sqrt{2}}|0>
par récurrence :
|n>=\frac{{\hat{a}^+}^n}{\sqrt{n!}}|0>
D'ou On tire les relations demander : \hat{a}|n>=\sqrt{n}|n-1> \hat{a}^+|n>=\sqrt{n+1}|n+1>
2) Le système a l'instant initial est dans l'état indiquer ci dessus :
On sait que l'énergie d'un Oscillateur Harmonique est donné par E_n=\hbar\omega (n+\frac{1}{2})
pour n =0 : \frac{\hbar\omega}{2}
pour n =1 : \frac{3\hbar\omega}{2}
pour n =3 : \frac{5\hbar\omega}{2}
Or |\psi (t)>=U(t, t_0) |\psi (t_0)> avec U(t, t_0)=e^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}
On remplacent nous tombons dans l'expression suivant : |\psi (t)>= \frac{e^{\frac{-i\omega}{2}}}{2}|0> + \frac{e^{\frac{-i3\omega}{2}}}{2}|1> - i\frac{e^{\frac{-i5\omega}{2}}}{\sqrt{2}}|2>
La probabilité de trouver \frac{5\hbar\omega}{2} Comme résultat de mesure : P(\frac{5\hbar\omega}{2})=\frac{1}{2}
3)
a ) On H'= \alpha\hbar\omega X On rend H' sans dimension on divisent par une énergie On Obtient :
H'=\hbar\omega\hat{H'}
Or \hat{H}_t=\hat{H'}+\hat{H_0} avec \hat{H_0}=\frac{1}{2}(\hat{X}^2 + \hat{P}^2) \rightsquigarrow \hat{H}_t=\alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\hat{X} + \frac{1}{2}(\hat{X}^2 + \hat{P}^2)
on ressemblent les termes suivant \hat{X} on obtient l'expression suivant :
\hat{H_t}=\frac{1}{2}(\hat{P} + (\hat{X} + \alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}})^2) - \frac{\hbar\alpha^2}{2m\omega} on posent \hat{X'}=\hat{X} + \alpha\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}
donc H_0 est effectivement décalé avec la quantité \frac{\hbar^2\alpha^2}{2m} .
b) l'application de la théorie des perturbation stationnaire (indépendante du temps)
Pour ce qui reste c'est juste un application de ces relations
N.B : la correction sur les états stationnaires r'approché d'ordre (2) est rarement demandé .
Hassan Aboulfadam <3
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