Processing math: 1%

Examen Corrigé Physique Quantique 2015 Rattrapage FSK

Examen Corrigé Physique Quantique 2015 Rattrapage FSK

Examen Corrigé Physique Quantique 2015 Rattrapage FSK


Partie A
On Considère l'atome d'hydrogène dans son état 1s et on se place dans les conditions de Couplage Spin-Orbite .
 1) Terme spectral fondamental \hookrightarrow On a L=0 et S=\frac{1}{2} \hookrightarrow J=\frac{1}{2} Donc on a une seul terme spectral S_\frac{1}{2} sa nature est Paramagnétique puisque \mu_J=\mu_S\neq0.
2) La Solution de l'équation de Schr\hat{o}dinger de l'état 1s est donné par :
              \psi_{1s}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^{2}}}\exp(-\frac{r}{a_0}) 
Pour déterminer le rayon le plus probable on détermine premièrement La densité de probabilité radial qui s'écrit :  D(r)=\frac{dP}{dr}=4\pi r^2 ||\psi_{1s}||^2 qui passe par un extrémum donc \frac{dD(r)}{dr}=0 On résoudront cette égalité On trouve que le rayon le plus probable est r=a_0

PARTIE B
On Considère maintenant la structure hyper fine de l'état 1s de l'hydrogène , due au Couplage entre \vec{J}=\vec{L} + \vec{S} et \vec{I} .
1) On a \vec{F}=\vec{J} + \vec{I} avec \vec{J}= \vec{S} puisque \vec{L}=0 \hookrightarrow \vec{F}=\vec{S} + \vec{I} , d'après l'énoncé S=\frac{1}{2} et I=\frac{1}{2} \hookrightarrow |S - I|\leq F \leq |S + I| le niveau 1s est dégénéré 4 fois ((système à 4 états) , F=0,1.

2) Les Coefficients de clebsh-Gordon :
|1,1>=|++>
|1,-1>=|-->
|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-> + |-+>)
|0,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-> - |-+>)
3)Hamiltonien d'interaction est donné par : H_{ss}=\alpha \vec{S}.\vec{I} . H_{ss}=\frac{\alpha}{2}(\vec{F}^2 - \vec{S}^2 -\vec{I}^2) \hookrightarrow E_{ss}=\frac{\hbar^2 a}{2}(F(F+1)-S(S+1)-I(I+1)) avec F peut prend deux valeurs qu'on a déjà déterminé (0,1) par contre S et I seront fixe , Ceci montre qu'on aura un valeur propre 3 fois dégénéré et une valeur propre simple  H_{ss}= \begin{pmatrix} \frac{\alpha \hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\alpha \hbar^2}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3\alpha \hbar^2}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha \hbar^2}{4} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |1,1> \\ |1,0> \\ |0,0> \\ |-1,-1> \\ \end{pmatrix}
b) La dégénérescence d'ordre 4 est donc partiellement levée par H_{ss} : Le niveau F = 1 est dégénéré d'ordre 3 et est appelé état triplet, Le niveau F = 0 n'est pas dégénéré et est donc appelé État singulet .
4) L'atome d'hydrogène est plongé dans un champ magnétique statique suivant Oz tel que H_z est une perturbation de H_{ss} :
 \bullet (Champ faible) \hookrightarrow (Effet Zeeman) \hookrightarrow (Base Couplé )
 a) H_z=-(\vec{\mu_L} + \vec{\mu_S} + \vec{\mu_I})\times\vec{B} 
b) d'après la question a) on obtient H_z=\omega_0(L_z + 2S_z) + \omega_NI_z=\omega_0(L_z + 2S_z + \frac{\omega_N}{\omega_0}I_z) avec \omega_0=-\frac{qB}{2m_e} et \omega_N=\frac{q.g_p.B}{2m_p}or on sait que la masse d'électrons est négligable devant la masse du proton \hookrightarrow \frac{\omega_N}{\omega_0}\simeq-\frac{me}{m_p} \longmapsto 0 et L=0 (L'état fondamental ) , Finalement on Obtient :            H_z\simeq2\omega_0S_z
c)  H_z=\hbar\omega_0 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} d) On diagonalisent la matrice H_z dans l'espace des état dégénéré on obtient : H_z=\hbar\omega_0 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}
\bullet E_{|11>}^1=\frac{\alpha \hbar^2}{4} + \hbar\omega_0
\bullet E_{|1-1>}^1=\frac{\alpha \hbar^2}{4} - \hbar\omega_0
\bullet E_{|10>}^1=\frac{\alpha \hbar^2}{4}
\bullet E_{|00>}^1=-3\frac{\alpha \hbar^2}{4}
La Dégénérescence est totalement levée .

Aucun commentaire:

Enregistrer un commentaire