Examen Corrigé Physique Quantique 2015 Rattrapage FSK

Partie A

On Considère l'atome d'hydrogène dans son état 1s et on se place dans les conditions de Couplage Spin-Orbite .
1) Terme spectral fondamental

$\hookrightarrow$ On a

$L=0$ et

$S=\frac{1}{2}$

$\hookrightarrow$

$J=\frac{1}{2}$ Donc on a une seul terme spectral

$S_\frac{1}{2}$ sa nature est Paramagnétique puisque

$\mu_J=\mu_S\neq0$ .
2) La Solution de l'équation de Schr

$\hat{o}$ dinger de l'état 1s est donné par :

$\psi_{1s}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^{2}}}\exp(-\frac{r}{a_0})$

Pour déterminer le rayon le plus probable on détermine premièrement La densité de probabilité radial qui s'écrit :

$D(r)=\frac{dP}{dr}=4\pi r^2 ||\psi_{1s}||^2$ qui passe par un extrémum donc

$\frac{dD(r)}{dr}=0$ On résoudront cette égalité On trouve que le rayon le plus probable est

$r=a_0$

PARTIE B
On Considère maintenant la structure hyper fine de l'état 1s de l'hydrogène , due au Couplage entre

$\vec{J}=\vec{L} + \vec{S}$ et

$\vec{I}$ .
1) On a

$\vec{F}=\vec{J} + \vec{I}$ avec

$\vec{J}= \vec{S}$ puisque

$\vec{L}=0$

$\hookrightarrow$

$\vec{F}=\vec{S} + \vec{I}$ , d'après l'énoncé

$S=\frac{1}{2} et I=\frac{1}{2}$

$\hookrightarrow$

$|S - I|\leq F \leq |S + I|$ le niveau 1s est dégénéré 4 fois ((système à 4 états) ,

$F=0,1$ .

2) Les Coefficients de clebsh-Gordon :

$|1,1>=|++>$

$|1,-1>=|-->$

$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-> + |-+>)$

$|0,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-> - |-+>)$
3)Hamiltonien d'interaction est donné par :

$H_{ss}=\alpha \vec{S}.\vec{I}$ .

$H_{ss}=\frac{\alpha}{2}(\vec{F}^2 - \vec{S}^2 -\vec{I}^2)$

$\hookrightarrow$

$E_{ss}=\frac{\hbar^2 a}{2}(F(F+1)-S(S+1)-I(I+1))$ avec F peut prend deux valeurs qu'on a déjà déterminé (0,1) par contre S et I seront fixe , Ceci montre qu'on aura un valeur propre 3 fois dégénéré et une valeur propre simple

$H_{ss}= \begin{pmatrix} \frac{\alpha \hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\alpha \hbar^2}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3\alpha \hbar^2}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha \hbar^2}{4} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |1,1> \\ |1,0> \\ |0,0> \\ |-1,-1> \\ \end{pmatrix}$
b) La dégénérescence d'ordre 4 est donc partiellement levée par

$H_{ss}$ : Le niveau F = 1 est dégénéré d'ordre 3 et est appelé état triplet, Le niveau F = 0 n'est pas dégénéré et est donc appelé État singulet .

4) L'atome d'hydrogène est plongé dans un champ magnétique statique suivant Oz tel que

$H_z$ est une perturbation de

$H_{ss}$ :

$\bullet$ (Champ faible)

$\hookrightarrow$ (Effet Zeeman)

$\hookrightarrow$ (Base Couplé )
a)

$H_z=-(\vec{\mu_L} + \vec{\mu_S} + \vec{\mu_I})\times\vec{B}$

b) d'après la question a) on obtient

$H_z=\omega_0(L_z + 2S_z) + \omega_NI_z=\omega_0(L_z + 2S_z + \frac{\omega_N}{\omega_0}I_z)$ avec

$\omega_0=-\frac{qB}{2m_e}$ et

$\omega_N=\frac{q.g_p.B}{2m_p}$ or on sait que la masse d'électrons est négligable devant la masse du proton