Problème
Soit un matériau métallique de volume V , les N électrons de la bande de Conduction d'un tel métal sont généralement assez bien traités dans un schéma d'un gaz d'électrons libres.
I
1-a-On montre que $W(E)=\frac{V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{6\pi^2\hbar^3}$ :
Pour une particule On a $W(E)=\int d\Gamma=\frac{1}{h^3}\int d^3\vec{p}d^3\vec{r}=\frac{V}{h^3}\int dp_xdp_ydp_z$ $W(E)=\frac{V}{h^3}\int 4\pi p^2 dp $ or pour une particule libre $E=\frac{P^2}{2m}=\frac{P_x^{2} + P_y^{2} + P_z^{2}}{2m}$ On Calculant : $W(E)=\frac{V}{h^3}\int 4\pi p^2 dp= \frac{4\pi VP^3}{3h^3}$ avec $h=2\pi\hbar$
2-L'équation d'état décrivent l'échange Contrôlé par la paire de Variables ($\overline{X}$,x) est : $\overline{X}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial x}$
Exemple 1 : $-\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}$
Exemple 2 : $-\overline{M}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial B}$
Exemple 3 : $-\overline{N}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial \mu}$
3- On a $\overline{N}=\sum_{\epsilon_{\lambda}} f(\epsilon)$ d'après la limite des grands volumes :
a- $\overline{N}=\int_{\epsilon_0}^\infty f(\epsilon)g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon=$ $2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}d\epsilon$
b-L'expression de $\overline{E}=\sum_{\epsilon_{\lambda}}\epsilon f(\epsilon)=$ $2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\epsilon E^{\frac{1}{2}}d\epsilon$
4- L'expression intégral du potentiel thermodynamique est :
$F=-K_bT\sum_{\epsilon_{\lambda}}log(Z)=$ $-2K_bT\int_{0}^\infty f(\epsilon) \mathscr{D(\epsilon)} log(Z)d\epsilon$ qui peut encore exprimé en Fonction de $\overline{E}$ $\longmapsto$ $F=-\frac{2}{3}\overline{E}$
5- Pour Calculé la pression du Gaz soit on utilise L'exemple 1 $-\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}$ soit On utilise le Résultat suivant : $F=-PV=-\frac{2}{3}\overline{E} \longmapsto$ $P=\frac{2\overline{E}}{3V}$
6- a $T=0^\circ K$ Les électrons sont libres avec $f(\epsilon)=1$
Calcule de $\overline{N}=\int_{0}^{\mu_0}g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon=$ $\frac{V}{3\pi^3}(\frac{2m\mu_0}{\hbar^2})^{\frac{2}{3}}$
Calcule de $\overline{E}=2\int_{0}^{\mu_0}\mathscr{D(\epsilon)}\epsilon d\epsilon=$ $\frac{V}{5\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\mu_0^{\frac{5}{2}}$
--> $W(E)=\frac{4\pi VP^3}{3(2\pi\hbar)^3}=\frac{4\pi V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{3(2\pi\hbar)^3}$ $W(E)=\frac{V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{6\pi^2\hbar^3}$
b-La densité d'état est donné par : $\mathscr{D}=\frac{dW(E)}{dE}=\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}$2-L'équation d'état décrivent l'échange Contrôlé par la paire de Variables ($\overline{X}$,x) est : $\overline{X}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial x}$
Exemple 1 : $-\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}$
Exemple 2 : $-\overline{M}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial B}$
Exemple 3 : $-\overline{N}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial \mu}$
3- On a $\overline{N}=\sum_{\epsilon_{\lambda}} f(\epsilon)$ d'après la limite des grands volumes :
a- $\overline{N}=\int_{\epsilon_0}^\infty f(\epsilon)g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon=$ $2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}d\epsilon$
b-L'expression de $\overline{E}=\sum_{\epsilon_{\lambda}}\epsilon f(\epsilon)=$ $2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\epsilon E^{\frac{1}{2}}d\epsilon$
4- L'expression intégral du potentiel thermodynamique est :
$F=-K_bT\sum_{\epsilon_{\lambda}}log(Z)=$ $-2K_bT\int_{0}^\infty f(\epsilon) \mathscr{D(\epsilon)} log(Z)d\epsilon$ qui peut encore exprimé en Fonction de $\overline{E}$ $\longmapsto$ $F=-\frac{2}{3}\overline{E}$
5- Pour Calculé la pression du Gaz soit on utilise L'exemple 1 $-\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}$ soit On utilise le Résultat suivant : $F=-PV=-\frac{2}{3}\overline{E} \longmapsto$ $P=\frac{2\overline{E}}{3V}$
6- a $T=0^\circ K$ Les électrons sont libres avec $f(\epsilon)=1$
Calcule de $\overline{N}=\int_{0}^{\mu_0}g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon=$ $\frac{V}{3\pi^3}(\frac{2m\mu_0}{\hbar^2})^{\frac{2}{3}}$
Calcule de $\overline{E}=2\int_{0}^{\mu_0}\mathscr{D(\epsilon)}\epsilon d\epsilon=$ $\frac{V}{5\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\mu_0^{\frac{5}{2}}$
Calcule de F : On a déjà trouver que $F=-\frac{2}{3}\overline{E}$ il suffit donc de remplacé $\overline{E}$ par son expression ci dessus .
II
Les Loi de De distributions :
F-D : $f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}+ 1}$
B-E : $f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}-1}$
M-B : $f(\epsilon)=\frac{1}{z}e^{-\beta\epsilon}$
En Haut températures les trois distributions sont équivalents à la limite classique(M-B) : $T\nearrow$ $\Longrightarrow$ $\beta \searrow$ $\hookrightarrow$ $n\lll n_Q$ d'où $\overline{N}=\overline{E}=\frac{N}{z}e^{-\beta\epsilon}$ , les trois distributions sont $\thickapprox$
II
Les Loi de De distributions :
F-D : $f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}+ 1}$
B-E : $f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}-1}$
M-B : $f(\epsilon)=\frac{1}{z}e^{-\beta\epsilon}$
En Haut températures les trois distributions sont équivalents à la limite classique(M-B) : $T\nearrow$ $\Longrightarrow$ $\beta \searrow$ $\hookrightarrow$ $n\lll n_Q$ d'où $\overline{N}=\overline{E}=\frac{N}{z}e^{-\beta\epsilon}$ , les trois distributions sont $\thickapprox$
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