Problème
Soit un matériau métallique de volume V , les N électrons de la bande de Conduction d'un tel métal sont généralement assez bien traités dans un schéma d'un gaz d'électrons libres.
I
1-a-On montre que W(E)=\frac{V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{6\pi^2\hbar^3} :
Pour une particule On a W(E)=\int d\Gamma=\frac{1}{h^3}\int d^3\vec{p}d^3\vec{r}=\frac{V}{h^3}\int dp_xdp_ydp_z W(E)=\frac{V}{h^3}\int 4\pi p^2 dp or pour une particule libre E=\frac{P^2}{2m}=\frac{P_x^{2} + P_y^{2} + P_z^{2}}{2m} On Calculant : W(E)=\frac{V}{h^3}\int 4\pi p^2 dp= \frac{4\pi VP^3}{3h^3} avec h=2\pi\hbar
2-L'équation d'état décrivent l'échange Contrôlé par la paire de Variables (\overline{X},x) est : \overline{X}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial x}
Exemple 1 : -\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}
Exemple 2 : -\overline{M}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial B}
Exemple 3 : -\overline{N}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial \mu}
3- On a \overline{N}=\sum_{\epsilon_{\lambda}} f(\epsilon) d'après la limite des grands volumes :
a- \overline{N}=\int_{\epsilon_0}^\infty f(\epsilon)g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon= 2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}d\epsilon
b-L'expression de \overline{E}=\sum_{\epsilon_{\lambda}}\epsilon f(\epsilon)= 2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\epsilon E^{\frac{1}{2}}d\epsilon
4- L'expression intégral du potentiel thermodynamique est :
F=-K_bT\sum_{\epsilon_{\lambda}}log(Z)= -2K_bT\int_{0}^\infty f(\epsilon) \mathscr{D(\epsilon)} log(Z)d\epsilon qui peut encore exprimé en Fonction de \overline{E} \longmapsto F=-\frac{2}{3}\overline{E}
5- Pour Calculé la pression du Gaz soit on utilise L'exemple 1 -\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V} soit On utilise le Résultat suivant : F=-PV=-\frac{2}{3}\overline{E} \longmapsto P=\frac{2\overline{E}}{3V}
6- a T=0^\circ K Les électrons sont libres avec f(\epsilon)=1
Calcule de \overline{N}=\int_{0}^{\mu_0}g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon= \frac{V}{3\pi^3}(\frac{2m\mu_0}{\hbar^2})^{\frac{2}{3}}
Calcule de \overline{E}=2\int_{0}^{\mu_0}\mathscr{D(\epsilon)}\epsilon d\epsilon= \frac{V}{5\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\mu_0^{\frac{5}{2}}
--> W(E)=\frac{4\pi VP^3}{3(2\pi\hbar)^3}=\frac{4\pi V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{3(2\pi\hbar)^3} W(E)=\frac{V(2mE)^{\frac{3}{2}}}{6\pi^2\hbar^3}
b-La densité d'état est donné par : \mathscr{D}=\frac{dW(E)}{dE}=\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}2-L'équation d'état décrivent l'échange Contrôlé par la paire de Variables (\overline{X},x) est : \overline{X}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial x}
Exemple 1 : -\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V}
Exemple 2 : -\overline{M}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial B}
Exemple 3 : -\overline{N}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial \mu}
3- On a \overline{N}=\sum_{\epsilon_{\lambda}} f(\epsilon) d'après la limite des grands volumes :
a- \overline{N}=\int_{\epsilon_0}^\infty f(\epsilon)g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon= 2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(2m/\hbar^2)^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}d\epsilon
b-L'expression de \overline{E}=\sum_{\epsilon_{\lambda}}\epsilon f(\epsilon)= 2\int_{0}^\infty f(\epsilon)\frac{V}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\epsilon E^{\frac{1}{2}}d\epsilon
4- L'expression intégral du potentiel thermodynamique est :
F=-K_bT\sum_{\epsilon_{\lambda}}log(Z)= -2K_bT\int_{0}^\infty f(\epsilon) \mathscr{D(\epsilon)} log(Z)d\epsilon qui peut encore exprimé en Fonction de \overline{E} \longmapsto F=-\frac{2}{3}\overline{E}
5- Pour Calculé la pression du Gaz soit on utilise L'exemple 1 -\overline{P}=-\frac{1}{\beta}\frac{\partial \log(Z)}{\partial V} soit On utilise le Résultat suivant : F=-PV=-\frac{2}{3}\overline{E} \longmapsto P=\frac{2\overline{E}}{3V}
6- a T=0^\circ K Les électrons sont libres avec f(\epsilon)=1
Calcule de \overline{N}=\int_{0}^{\mu_0}g(\epsilon)\mathscr{D(\epsilon)}d\epsilon= \frac{V}{3\pi^3}(\frac{2m\mu_0}{\hbar^2})^{\frac{2}{3}}
Calcule de \overline{E}=2\int_{0}^{\mu_0}\mathscr{D(\epsilon)}\epsilon d\epsilon= \frac{V}{5\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}}\mu_0^{\frac{5}{2}}
Calcule de F : On a déjà trouver que F=-\frac{2}{3}\overline{E} il suffit donc de remplacé \overline{E} par son expression ci dessus .
II
Les Loi de De distributions :
F-D : f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}+ 1}
B-E : f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}-1}
M-B : f(\epsilon)=\frac{1}{z}e^{-\beta\epsilon}
En Haut températures les trois distributions sont équivalents à la limite classique(M-B) : T\nearrow \Longrightarrow \beta \searrow \hookrightarrow n\lll n_Q d'où \overline{N}=\overline{E}=\frac{N}{z}e^{-\beta\epsilon} , les trois distributions sont \thickapprox
II
Les Loi de De distributions :
F-D : f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}+ 1}
B-E : f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)}-1}
M-B : f(\epsilon)=\frac{1}{z}e^{-\beta\epsilon}
En Haut températures les trois distributions sont équivalents à la limite classique(M-B) : T\nearrow \Longrightarrow \beta \searrow \hookrightarrow n\lll n_Q d'où \overline{N}=\overline{E}=\frac{N}{z}e^{-\beta\epsilon} , les trois distributions sont \thickapprox
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