Examen Corrigé Physique Statistique Session Normal 2018 FSK

Examen Corrigé Physique Statistique

Partie I 

 Les deux électrons (l) et (k) de spin $\vec{S_l}$ et $\vec{S_k}$ sont Couplés dans une intéraction d'échange magnétique décrite par un hamiltonien d'Ising : 

$h_i=-J(\vec{S_l}^z.\vec{S_k}^z)$ , 

Il est évident que la matrice est diagonale dans la base découplé , donc pour avoir les Vp et les $\vec{Vp}$ il suffit de faire la projection de $h_i$ dans la base découplé $$h_i= \begin{bmatrix} -J\frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & J\frac{\hbar^2}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & J\frac{\hbar^2}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -J\frac{\hbar^2}{4} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} |++> \\ |+-> \\ |-+> \\ |--> \\ \end{bmatrix}$$  

2) En déduire les énergies et les vecteurs propres $E_i$ et les Complexions $|\psi_i>$ :

$E_1=-J\frac{\hbar^2}{4}$ $\longmapsto$ $|\psi_1>=|++>$

$E_2=J\frac{\hbar^2}{4}$ $\longmapsto$ $|\psi_2>=|+->$

$E_3=J\frac{\hbar^2}{4}$ $\longmapsto$ $|\psi_3>=|-+>$

$E_4=-J\frac{\hbar^2}{4}$ $\longmapsto$ $|\psi_4>=|-->$

3) Diagramme d'énergie 

Partie II 

II-1- Puisque le système est en équilibre thermique donc La Distribution est Canonique 

II-2-La loi de probabilité de chaque Complexion est donné par la relation $P_\sum =\frac{\text{exp}(-\beta.E_i)}{Z}$ Donc à chaque Complexion On a une valeur propre et une probabilité d'occupation qui donné par la relation précédant 

II-3- Fonction de Partition Canonique : par Définition la Fonction de partition est donné par la relation $Z_\sum =\sum\exp(\beta.E)$ avec $\sum$ varie de 1 jusqu'à 4 puisque on 4 complexion d'où $Z_\sum =\exp(-\beta.E_1)+\exp(-\beta.E_2)+\exp(-\beta.E_3)+\exp(-\beta.E_4)$ avec $E_1=E_4$ et $E_2=E_3$ on remplaçant les $E_i$ par leurs expression en obtient : $Z_\sum =2\exp(-J\beta\frac{\hbar^2}{4})+2\exp(J\beta\frac{\hbar^2}{4})$ 

$\Rightarrow$ $Z_\sum =4\cosh(J\frac{\beta\hbar^2}{4})$

II-4- L'énergie Moyenne et L'entropie : L'énergie moyenne est définie par la relation 

$\bar{E}=\frac{-\partial \log(Z)}{\partial \beta}$=$-J\frac{\hbar^2}{4}.\tanh(J\frac{\beta\hbar^2}{4})$}

L'entropie est donné par la relation $S=\frac{\bar{E}-F}{T}$ avec $F=-K_b .T\log(Z)$ d'où

 $S=\bar{E}\beta.K_b + K_b.\log(Z)$ 

La Chaleur Spécifique est donné par :

$Cv=-\frac{\partial\bar{E}}{\partial T}=\frac{1}{K_b.T^2}.\frac{\partial\bar{E}}{\partial\beta}$ 

après Calcul on trouve: 

$Cv=K_b.(\frac{J\beta\bar{h}^2}{4})^2.\frac{1}{\cosh^2(\frac{J\beta\bar{h}^2}{4})}$ 

II-5- Discussion 

II-6- Calcule de $M_\sum$ de la paire : Par Définition L'aimantation Moyenne est donné par la relation : 

$M_\sum =\sum\mu.P_\sum$ 

Or On a Pour $+\mu$ $\Longrightarrow$ $|+>$ et $-\mu$ $\Longrightarrow$ $|->$ donc On aura $\mu^2$ $\Longrightarrow$ ${|++>,|-->}$\\ et $-\mu$ $\Longrightarrow$ ${|+->,|-+>}$ il reste a appliqué la relation indiquée en dessus , on Obtient \\ $M_\sum =2\mu^2.\frac{\exp(-\beta E_1)}{Z}-2\mu^2.\frac{\exp(-\beta E_3)}{Z}$ d'où

$M_\sum =\mu^2.\tanh(J\frac{\beta\hbar^2}{4})$

II-7-La forme matricielle de l'opérateur densité : Puisque la Matrice $h_i$ est diagonale dans la base découplé {$|\pm>$,$|\pm>$} ,donc La matrice densité est aussi diagonale dans cette base et les éléments diagonaux n'est rien d'autres que les probabilités d'occupation de chaque états D'où : 

  $$\varrho_\sum =\frac{1}{Z} \begin{bmatrix} \exp(-J\beta\frac{\hbar^2}{4}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \exp(J\beta\frac{\hbar^2}{4}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \exp(J\beta\frac{\hbar^2}{4}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \exp(-J\beta\frac{\hbar^2}{4}) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} |++> \\ |+-> \\ |-+> \\ |--> \\ \end{bmatrix}$$  

Par Hassan Aboulfadam <3